矩阵的初等变换和线性方程组

矩阵的初等变换

矩阵的初等行变换：

1. 交换两行：$r_i \leftrightarrow r_j$
2. 用非零数乘以某一行：$r_i \times k$
3. 将某一行的某个倍数加到另一行：$r_i+k r_j$

矩阵的初等列变换：

1. 交换两列：$c_i \leftrightarrow c_j$
2. 用非零数乘以某一列：$c_i \times k$
3. 将某一列的某个倍数加到另一列：$c_i+k c_j$

行阶梯形：每个阶梯只有一行；元素不全为零的行（非零行）的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大（列标一定不小于行标）；元素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行。

行最简形：行阶梯形的每一行的非零首元均为 $1$，所在列的其余元素全为 $0$。

任何矩阵总可以经过有限次初等行变换将其化成行阶梯形，进而化成行最简形。

标准形：左上角是单位阵，其余元素全为 $0$。

$A \sim\left(\begin{array}{cc} E_r & O \\ O & O \end{array}\right)$

初等行矩阵的逆变换：

行变换为例，

• $r_i \leftrightarrow r_j$ 的逆变换 $r_i \leftrightarrow r_j$
• $r_i \times k$ 的逆变换 $r_i \times \frac{1}{k}$
• $r_i+k r_j$ 的逆变换 $r_i-k r_j$

同理可知初等列变换的逆变换。

初等矩阵

初等矩阵：单位阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵。

非零数 $k$

• 交换 $E$ 的 $i$，$j$ 两行（列），得到初等矩阵 $E(i,j)$
• $k$ 乘以 $E$ 的第 $i$ 行（列），得到初等矩阵 $E(i(k))$
• $E$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行（$E$ 的第 $i$ 列的 $k$ 倍加到第 $j$ 列），得到初等矩阵 $E(i,j(k))$

【性质】用初等矩阵左乘（右乘）矩阵 $A$，相当于对 $A$ 作了一次同类型的初等行变换（初等列变换）。

初等矩阵都是可逆的，且逆矩阵也都还是初等矩阵

• $E(i, j)^{-1}=E(i, j)$
• $E(i(k))^{-1}=E\left(i\left(k^{-1}\right)\right)$
• $E(i, j(k))^{-1}=E(i, j(-k))$

【性质】矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 是一些初等矩阵的乘积。

证明：

$A$ 是一些初等矩阵的乘积，因为初等矩阵可逆，所以 $A$ 也可逆。

设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，可以用有限个初等变换将其化为标准形。

即存在初等矩阵 $P_1, \cdots, P_t$，$Q_1, \cdots, Q_s$，使得：

$P_t \cdots P_1 A Q_1 \cdots Q_s=\left(\begin{array}{cc} E_r & O \\ O & O \end{array}\right)$

因为初等矩阵 $P_1, \cdots, P_t$，$Q_1, \cdots, Q_s$ 和 $A$ 均是可逆的，故其乘积也可逆，即标准形也可逆。

$A=P_1^{-1} \cdots P_t^{-1} Q_s^{-1} \cdots Q_1^{-1}$

而初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵

得证。

等价矩阵

等价矩阵：

如果矩阵 $A$ 经过有限次初等行变换变成矩阵 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 行等价，记作：

$A \stackrel{r}{\cong} B$

如果矩阵 $A$ 经过有限次初等列变换变成矩阵 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 列等价，记作：

$A \stackrel{c}{\cong} B$

如果矩阵 $A$ 经过有限次初等变换变成矩阵 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记作：

$A \cong B$

对矩阵 $A$ 进行一次初等行（列）变换相当于用一个初等矩阵左乘（右乘）$A$，因此

1. 矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 行等价的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 $P_1, \cdots, P_t$，使得

$P_t \cdots P_1 A=B$

2. 矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 列等价的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 $Q_1, \ldots, Q_s$，使得

$A Q_t \cdots Q_1=B$

3. 矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 $P_1, \cdots, P_t$， $Q_1, \ldots, Q_s$，使得

$P_t \cdots P_1 A Q_1 \cdots Q_s=B$

又因为矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 是一些初等矩阵的乘积。

将上面的转换为

1. 矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 行等价的充分必要条件是存在可逆矩阵 $P$，使得

$P A=B$

2. 矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 列等价的充分必要条件是存在可逆矩阵 $Q$，使得

$A Q=B$

3. 矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价的充分必要条件是存在可逆矩阵 $P$，$Q$，使得

$P A Q=B$

推论：

1. 矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 与单位阵行等价

矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $P$，使得 $PA=E$ $\Leftrightarrow$ 矩阵 $A$ 与单位阵 $E$ 行等价

2. 矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 与单位阵列等价

矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $Q$，使得 $AQ=E$ $\Leftrightarrow$ 矩阵 $A$ 与单位阵 $E$ 列等价

矩阵之间的等价关系：

• 自反性：$A \cong B$
• 对称性：$A \cong B \Rightarrow B \cong A$
• 传递性：$A \cong B$，$B \cong C \Rightarrow A \cong C$

由上面推论可知，简易求逆矩阵的方法

• 可逆阵 $A$ 与单位阵 $E$ 行等价 $\Leftrightarrow$ 存在有限个初等矩阵 $P_1, \cdots, P_t$，使得 $P_t \cdots P_1 A=E$，即 $P_t \cdots P_1 E=A^{-1}$

$(A E) \rightarrow \cdots \text{初等行变换} \cdots \rightarrow\left(E A^{-1}\right)$

• 可逆阵 $A$ 与单位阵 $E$ 列等价 $\Leftrightarrow$ 存在有限个初等矩阵 $Q_1, \cdots, Q_s$，使得 $A Q_t \cdots Q_1=E$，即 $E Q_s \cdots Q_1 =A^{-1}$

$\left(\begin{array}{cc} A\\ E \end{array}\right) \rightarrow \cdots \text{初等列变换} \cdots \rightarrow \left(\begin{array}{cc} E\\ A^{-1} \end{array}\right)$

求解矩阵方程的方法

• 设 $A$ 是可逆阵，则矩阵方程 $AX=B$ 的解为 $X=A^{-1}B$

由上面方法可知，存在有限个初等矩阵 $P_1, \cdots, P_t$，使得 $P_t \cdots P_1 A=E$，即 $P_t \cdots P_1 E=A^{-1}$

右乘 $B$，得 $P_t \ldots P_1 B=A^{-1} B$

当用一系列初等行变换将 $A$ 变成单位阵 $E$ 时，$B$ 变成了 $A^{-1} B$

$(A B) \rightarrow \cdots \text{初等行变换} \cdots \rightarrow\left(E\ A^{-1}B\right)$

• 设 $A$ 是可逆阵，则矩阵方程 $XA=B$ 的解为 $X=BA^{-1}$

由上面方法可知，存在有限个初等矩阵 $Q_1, \cdots, Q_s$，使得 $A Q_t \cdots Q_1=E$，即 $E Q_s \cdots Q_1 =A^{-1}$

左乘 $B$，得 $B Q_1, \ldots, Q_s=B A^{-1}$

当用一系列初等列变换将 $A$ 变成单位阵 $E$ 时，$B$ 变成了 $B A^{-1}$

$\left(\begin{array}{cc} A\\ B \end{array}\right) \rightarrow \cdots \text{初等列变换} \cdots \rightarrow \left(\begin{array}{cc} E\\ B A^{-1} \end{array}\right)$

矩阵的秩

矩阵的子式：设 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵，任意取 $A$ 的 $k$ 行与 $k$ 列 （$k \leq m, n$），则位于这个行与列交叉处的 $k^2$ 个元素按原来的位置构成的 $k$ 阶行列式称为矩阵 $A$ 的一个 $k$ 阶子式。

矩阵的秩：设矩阵 $A$ 有一个 $r$ 阶子式 $D \not= 0$，且所有 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于 $0$，则数 $r$ 称为矩阵的秩，记作 $R(A)$。

规定零矩阵的秩为 $0$。

若 $A$ 的秩等于行数（列数），称 $A$ 是行满秩（列满秩）的矩阵。

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩等于阶数 $n$，则 $A$ 的行列式不等于 $0$，$A$ 是可逆矩阵，称 $A$ 是满秩矩阵。

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩小于阶数 $n$，则 $A$ 的行列式等于 $0$，$A$ 不是可逆矩阵，称 $A$ 是降秩矩阵。

【定理】两个等价矩阵的秩一定相等：

$A \cong B \Rightarrow R(A)=R(B)$

即若矩阵 $A$ 经过有限次初等变换化为矩阵 $B$，则 $R(A)=R(B)$。

证明：

设 $R(A)=r$，则 $D$ 是 $A$ 的非零 $r$ 阶子式。

• $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行互换 $\Rightarrow B$

$D$ 的所有元素仍然构成 $B$ 的一个 $r$ 阶子式：

$D^{\prime}= \pm D \neq 0$

$R(B) \geq r=R(A)$

• $A$ 的第 $i$ 行乘以 $k \Rightarrow B$
  • 若 $D$ 不包含 $A$ 的第 $i$ 行，则 $D$ 也是 $B$ 的非零 $r$ 阶子式；
  • 若 $D$ 包含 $A$ 的第 $i$ 行，则 $B$ 有$r$ 阶子式 $D^{\prime}$：$D^{\prime}=kD \not= 0$

$R(B) \geq r=R(A)$

• $A$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行 $\Rightarrow B$
  • 若 $D$ 不包含 $A$ 的第 $i$ 行，或 $D$ 同时包含 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行，则 $D$ 也是 $B$ 的非零 $r$ 阶子式；
  • 若 $D$ 包含 $A$ 的第 $i$ 行，但不包含 $A$ 的第 $j$ 行，则 $B$ 有 $r$ 阶子式 $D^{\prime}$：

$\begin{aligned} D^{\prime} & =\left|\begin{array}{ccc} \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i p_1}+k a_{j p_2} & \ldots & a_{i p_r}+k a_{j p_r} \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right| \\ & =\left|\begin{array}{ccc} \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i p_1} & \cdots & a_{i p_r} \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right|+k\left|\begin{array}{ccc} \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{j p_1} & \cdots & a_{j p_r} \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right| \\ & =D+k D_{\_} \end{aligned}$

由已知 $D \not= 0$，则 $D^{\prime}$ 和 $D_{\_}$ 不能同时为 $0$

若 $D^{\prime} \not= 0$，则 $D^{\prime}$ 为 $B$ 的一个 $r$ 阶非零子式

若 $D_{\_} \not= 0$，则 $D_{\_}$ 为 $B$ 的一个 $r$ 阶非零子式

$R(B) \geq r=R(A)$

以上证明 $A$ 经过一次初等行变换变为 $B$，则 $R(A) \leq R(B)$

由于初等行变换是可逆的，也可以经过一次初等行变换将 $B$ 变回 $A$，有 $R(B) \leq R(A)$

因此，经过一次初等行变换，矩阵的秩不改变。

所以经过有限次初等行变换，矩阵的秩也不变。

【定理】两个同型矩阵等秩则等价。

$A \cong\left(\begin{array}{cc} E_r & O \\ O & O \end{array}\right) \cong B$

其中 $r=R(A)=R(B)$

求矩阵的秩的方法

秩的性质

• $0 \leq R\left(A_{m \times n}\right) \leq \min \{m, n\}$
• $R\left(A^T\right)=R(A)$
• $R(k A)=R(A)(k \neq 0) \quad R(-A)=R(A)$
• 存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$，则 $R(PAQ)=R(A)$
• $\max \{R(A), R(B)\} \leq R(A, B) \leq R(A)+R(B)$
• $R(A \pm B) \leq R(A)+R(B)$
• $R(A B) \leq \min \{R(A), R(B)\}$

证明：若 $A_{m \times n} B_{n \times l}=C$ 且 $R\left(A_{m \times n}\right)=n$，则 $R(C)=R(B)$

证明：

因为 $R\left(A_{m \times n}\right)=n$，所以

$A \stackrel{r}{\cong}\left(\begin{array}{c} E_n \\ O \end{array}\right)$

因此存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$，使得 $P A=\left(\begin{array}{c}E_n \\ O\end{array}\right)$

$P C=P A B=\left(\begin{array}{c} E_n \\ O \end{array}\right) B=\left(\begin{array}{l} B \\ O \end{array}\right)$

即 $R(C)=R(PC)=R\left(\begin{array}{l}B \\ O\end{array}\right)$

又 $R(B)=R\left(\begin{array}{l}B \\ O\end{array}\right)$

$R(C)=R(B)$

结论：左乘列满秩矩阵秩不变

同理：右乘行满秩矩阵秩不变

线性方程组的解

设有 $n$ 元线性方程组（$n$ 个未知数，$m$ 个方程）

$\left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m \end{array}\right.$

用矩阵表示为：

$\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{array}\right)$

即

$A x=b$

• 系数矩阵

$A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)$

• 增广矩阵

$(A, b)=\left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_m \end{array}\right)$

Ax=b

【定理】$n$ 元线性方程组 $Ax=b$

1. 无解的充分必要条件是 $R(A)<R(A, b)$；
2. 有唯一解的充分必要条件是 $R(A)=R(A, b)=n$；
3. 有无穷多解的充分必要条件是 $R(A)=R(A, b)<n$。

证明：

设 $R(A)=r$，将增广矩阵化为行最简形

$(A, b)=\left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_m \end{array}\right)$

$\rightarrow$

$\tilde{B}=\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1, n-r} & d_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_{21} & \cdots & b_{2, n-r} & d_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_{r 1} & \cdots & b_{r, n-r} & d_r \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & d_{r+1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right)$

原方程组转换为：

$\left\{\begin{array}{c} x_1+b_{11} x_{r+1}+\cdots+b_{1, n-r} x_n =d_1 \\ x_2+b_{21} x_{r+1}+\cdots+b_{2, n-r} x_n =d_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_r+b_{r 1} x_{r+1}+\cdots+b_{r, n-r} x_n =d_r \\ 0 =d_{r+1} \end{array}\right.$

• 若 $R(A)=r<R(A, b)=R(\tilde{B})=r+1$，则 $d_{r+1} \neq 0$

最后一个方程无解：$0=d_{r+1}$，方程组无解

• 若 $R(A)=R(A, b)=n$，则 $d_{r+1} = 0$，

此时

$\tilde{B}=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & d_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & d_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & d_n \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right)$

方程组有唯一解：

$\left\{\begin{array}{l} x_1=d_1 \\ x_2=d_2 \\ \cdots \cdots \\ x_n=d_n \end{array}\right.$

• 若 $R(A)=R(A,b)<n$，则 $d_{r+1} = 0$，

此时

$\tilde{B}=\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1, n-r} & d_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_{21} & \cdots & b_{2, n-r} & d_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_{r 1} & \cdots & b_{r, n-r} & d_r \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right)$

原方程组变成同解的线性方程组：

$\left\{\begin{array}{c} x_1+b_{11} x_{r+1}+\cdots+b_{1, n-r} x_n & =d_1 \\ x_2+b_{21} x_{r+1}+\cdots+b_{2, n-r} x_n & =d_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_r+b_{r 1} x_{r+1}+\cdots+b_{r, n-r} x_n & =d_r \\ 0 \quad & =0 \end{array}\right.$

即：

$\left\{\begin{aligned} x_1= & -b_{11} x_{r+1}-\cdots-b_{1, n-r} x_n+d_1 \\ x_2= & -b_{21} x_{r+1}-\cdots-b_{2, n-r} x_n+d_2 \\ & \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_r= & -b_{r 1} x_{r+1}-\cdots-b_{r, n-r} x_n+d_r \end{aligned}\right.$

其中

$x_{r+1},\cdots,x_n$ 是自由未知数

写成矩阵形式：

$\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_r \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -b_{11} x_{r+1}-\cdots-b_{1, n-r} x_n+d_1 \\ -b_{11} x_{r+1}-\cdots-b_{1, n-r} x_n+d_1 \\ \vdots \\ -b_{r 1} x_{r+1}-\cdots-b_{r, n-r} x_n+d_r \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_r \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -b_{11} x_{r+1} \\ -b_{21} x_{r+1} \\ \vdots \\ -b_{r 1} x_{r+1} \end{array}\right)+\cdots+\left(\begin{array}{c} -b_{1, n-r} x_n \\ -b_{1, n-r} x_n \\ \vdots \\ -b_{r, n-r} x_n \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} d_1 \\ d_1 \\ \vdots \\ d_r \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_r \end{array}\right)=x_{r+1}\left(\begin{array}{c} -b_{11} \\ -b_{21} \\ \vdots \\ -b_{r 1} \end{array}\right)+\cdots+x_n\left(\begin{array}{c} -b_{1, n-r} \\ -b_{1, n-r} \\ \vdots \\ -b_{r, n-r} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} d_1 \\ d_1 \\ \vdots \\ d_r \end{array}\right)$

令$\left(\begin{array}{c}x_{r+1} \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}c_1 \\ \vdots \\ c_{n-r}\end{array}\right)$

得到通解

$\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_r \end{array}\right)=c_1\left(\begin{array}{c} -b_{11} \\ -b_{21} \\ \vdots \\ -b_{r 1} \end{array}\right)+\cdots+c_{n-r}\left(\begin{array}{c} -b_{1, n-r} \\ -b_{1, n-r} \\ \vdots \\ -b_{r, n-r} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} d_1 \\ d_1 \\ \vdots \\ d_r \end{array}\right)$

【定理】矩阵方程 $AX=B$ 有解的充分必要条件是 $R(A,B)=R(A)$。

步骤：

用初等变换将增广矩阵 $(A,b)$ 化为行阶梯形

观察 $R(A)$ 与 $R(B)$

1. 若 $R(A)=r<R(B)=r+1$，方程组无解
2. 若 $R(A)=R(B)$，方程组有解
   1. $R(A)=r=R(B)=n$，方程组有唯一解
   2. $R(A)=r=R(B)<n$，方程组有无穷多解，将行最简形中的 $r$ 个非零首元所对应的未知数作为非自由未知数，其余 $n-r$ 个未知数作为自由未知数移到方程右端，令自由未知数为 $n-r$ 个常数 $c_i$，得到方程组的通解。

Ax=0

【定理】$n$ 元线性方程组 $Ax=0$

1. 有唯一零解的充分必要条件是 $R(A)=n$；
2. 有无穷多解的充分必要条件是 $R(A)<n$。

推论：设 $m<n$，则有 $m$ 个方程的 $n$ 元齐次线性方程组 $A_{m \times n} x=0$ 必有非零解。

$R(A) \leq m < n$

步骤：

用初等变换将系数矩阵 $A$ 化为行最简形

1. 若 $R(A)=n$，方程组有唯一零解
2. 若 $R(A)=r<n$，方程组有无穷多解，将行最简形中的 $r$ 个非零首元所对应的未知数作为非自由未知数，其余 $n-r$ 个未知数作为自由未知数移到方程右端，令自由未知数为 $n-r$ 个常数 $c_i$，得到方程组的通解。