矩阵

矩阵

矩阵：由 $m \times n$ 个数 $a_{ij}$（$i=1,\cdots,m$；$j=1,\cdots,n$）排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表，用括号将数表括起来，称为 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，记作：

$A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n} \end{array}\right)=\left(a_{i j}\right)=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$

$a_{ij}$ 位于矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列，称为元素/元

$n$ 阶矩阵/$n$ 阶方阵：$n$ 行 $n$ 列的矩阵。

$A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)$

行矩阵/行向量：只有一行的矩阵。

$A=\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$

列矩阵/列向量：只有一列的矩阵

$B=\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{array}\right)$

同型矩阵：两个矩阵的行数和列数相等。

相等矩阵：两个同型矩阵对应元素都相等，则称它们相等。

零矩阵：元素全为 $0$ 的矩阵。

单位矩阵/单位阵：如果一个 $n$ 阶方阵的主对角线上的元素全为 $1$，其他元素全为 $0$，则称 $n$ 阶单位矩阵，记为 $E$ 或 $I$。

$E=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)$

对角矩阵：如果果一个 $n$ 阶方阵的不在主对角线上的元素全为 $0$，则称 $n$ 阶对角矩阵，记为 $\Lambda$ 或 $diag(\cdots)$。

$\Lambda=\left(\begin{array}{cccc} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{array}\right)=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\right)$

负矩阵：设矩阵 $A=(a_{ij})$ ，则称矩阵 $(-a_{ij})$ 为 $A$ 的负矩阵，记作 $-A$，则 $-A=(-a_{ij})$。

$A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right) \quad-A=\left(\begin{array}{ccc} -a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1 n} \\ -a_{21} & -a_{22} & \cdots & -a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ -a_{m 1} & -a_{m 2} & \cdots & -a_{m n} \end{array}\right)$

线性变换 $T$：

$\left\{\begin{aligned} y_1= & a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n \\ y_2= & a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n \\ & \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ y_m= & a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\ldots+a_{m n} x_n \end{aligned}\right.$

将 $n$ 维变量 $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ 变成 $m$ 维向量 $\left(y_1, y_2, \ldots, y_m\right)$：

$T:\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \rightarrow\left(y_1, y_2, \ldots, y_m\right)$

称 $T$ 是 $n$ 维空间 $R^n$ 到 $m$ 维空间 $R^m$ 的线性变换。

未知数的系数构成方程组的系数矩阵

$A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)$

运算

加法

矩阵的加法：设有两个 $m \times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$ 和 $B=(b_{ij})$，则 $A$ 和 $B$ 的和，记作 $A+B$，定义为以下矩阵：

$A+B=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1 n}+b_{1 n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2 n}+b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m 1}+b_{m 1} & a_{m 2}+b_{m 2} & \cdots & a_{m n}+b_{m n} \end{array}\right)$

满足相关运算律：矩阵相加实际就是对应元素相加

• 交换律：$A+B=B+A$ $\leftrightarrow$ $a_{i j}+b_{i j}=b_{i j}+a_{i j}$
• 结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$ $\leftrightarrow$ $\left(a_{i j}+b_{i j}\right)+c_{i j}=a_{i j}+\left(b_{i j}+c_{i j}\right)$
• 存在加法零元素：$A+O=A$ $\leftrightarrow$ $a_{i j}+0=a_i$

减法

矩阵的减法：$A-B=A+(-B)$

乘法

数乘矩阵：设有矩阵 $A=(a_{ij})$，$\lambda$ 是一个实数，则 $\lambda$ 与矩阵 $A$ 的乘积，记作 $\lambda A$ 或 $A\lambda$，定义为以下矩阵：

$\lambda A=\left(\begin{array}{cccc} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1 n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ \lambda a_{m 1} & \lambda a_{m 2} & \cdots & \lambda a_{m n} \end{array}\right)=A \lambda$

满足相关运算律：矩阵的数乘实际就是该数乘以矩阵的所有元素

• $(\lambda \mu) A=\lambda(\mu A)$ $\leftrightarrow$ $(\lambda \mu) a_{i j}=\lambda\left(\mu a_{i j}\right)$
• $(\lambda+\mu) A=\lambda A+\mu A$ $\leftrightarrow$ $(\lambda+\mu) a_{i j}=\lambda a_{i j}+\mu a_{i j}$
• $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$ $\leftrightarrow$ $\lambda\left(a_{i j}+b_{i j}\right)=\lambda a_{i j}+\lambda b_{i j}$
• $1 A=A$ $\leftrightarrow$ $1 a_{i j}=a_{i j}$
• $(-1) A=-A$ $\leftrightarrow$ $(-1) a_{i j}=-a_{i j}$

矩阵相加和数乘矩阵称为矩阵的线性运算。

数量矩阵/纯量矩阵：数 $\lambda$ 与单位矩阵 $E$ 的乘积称为数量矩阵或纯量矩阵（纯量阵）。

$\lambda E=\lambda\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \lambda & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{array}\right)$

矩阵的乘法：设 $A=(a_{ij})$ 是一个 $m \times s$ 矩阵，$B=(b_{ij})$ 是一个 $s \times n$ 矩阵，则 $A$ 与 $B$ 的乘积，记作 $AB$ ，定义为一个 $m \times n$ 的矩阵 $C=(c_{ij})$，其中 $c_{ij}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行元素 $a_{i 1}, a_{i 2}, \ldots, a_{i s}$ 分别与 $B$ 的第 $j$ 列的元素 $b_{1 j}, b_{2 j}, \ldots, b_{s j}$ 的乘积之和。

$c_{i j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\ldots+a_{i s} b_{s j}=\left(a_{i 1} a_{i 2} \ldots a_{i s}\right)\left(\begin{array}{c} b_{1 j} \\ b_{2 j} \\ \vdots \\ b_{s j} \end{array}\right)$

矩阵可乘的条件是 $A$ 的列数与 $B$ 的行数相等。

满足相关运算律：

• $(A B) C=A(B C)$
• $\lambda(A B)=(\lambda A) B=A(\lambda B)$
• $C(A+B)=C A+C B$
• $(A+B) C=A C+B C$
• $E A=A$
• $A E=A$

可交换矩阵：如果 $AB=BA$，则称 $A$ 和 $B$ 可交换。

单位矩阵或纯量矩阵可与方阵可交换：

$E A=A=A E$

$(k E) A=k A=A(k E)$

线性变换的矩阵表示

$\left\{\begin{aligned} y_1= & a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n \\ y_2= & a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n \\ & \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ y_m= & a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\ldots+a_{m n} x_n \end{aligned}\right.$

用矩阵表示为：

$\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)$

简写为：

$Y=A X$

矩阵的幂

矩阵的幂：设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵，定义 $A$ 的幂，$A^1=A$，$A^2=AA$，$\cdots$，$A^{k+1}=A^kA$，其中 $k$ 是正整数。

$A^n=A A \cdots A$

满足相关运算律：

• $A^k A^l=A^{k+l}$
• $\left(A^k\right)^l=A^{k l}$

注意：除非满足 $A$ 与 $B$ 可交换，即 $AB=BA$，否则下式不成立

• $(A B)^k \neq A^k B^k$：$(A B)^2=(A B)(A B)=A B A B \neq A^2 B^2$
• $(A+B)^2 \neq A^2+2 A B+B^2$：$(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+A B+B A+B^2$
• $(A+B)(A-B) \neq A^2-B^2$：$(A+B)(A-B)=A^2-A B+B A-B^2$

旋转变换

将坐标平面上的点 $P(x,y)$ 绕原点逆时针旋转角度 $\varphi$ 得到点 $P(x^{\prime},y^{\prime})$

旋转变换：

$\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right)$

结合矩阵的幂，应该有 $\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi\end{array}\right)^n=\left(\begin{array}{cc}\cos n \varphi & -\sin n \varphi \\ \sin n \varphi & \cos n \varphi\end{array}\right)$

证明：

当 $n=1$ 时，等式显然成立

当 $n=k$ 时，等式成立

$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)^{k+1} & =\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)^k\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{cc} \cos k \varphi & -\sin k \varphi \\ \sin k \varphi & \cos k \varphi \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{cc} \cos k \varphi \cos \varphi-\sin k \varphi \sin \varphi & -\cos k \varphi \sin \varphi-\sin k \varphi \cos \varphi \\ \sin k \varphi \cos \varphi+\cos k \varphi \sin \varphi & -\sin k \varphi \sin \varphi+\cos k \varphi \cos \varphi \end{array}\right) \end{aligned}$

又 $\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta=\cos (\alpha+\beta) \quad \sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)$

故上式为：$\left(\begin{array}{cc}\cos (k+1) \varphi & -\sin (k+1) \varphi \\ \sin (k+1) \varphi & \cos (k+1) \varphi\end{array}\right)$

得证。

转置矩阵

转置矩阵：把矩阵 $A$ 的行换成同序数的列，把列换成同序数的行，得到的矩阵。记作 $A^T$。

设 $A$：

$A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)_{m \times n}$

则 $A^T$：

$A^T=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m 1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m 2} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)_{n \times m}$

满足相关运算律：

• $\left(A^T\right)^T=A$
• $(A+B)^T=A^T+B^T$
• $(\lambda A)^T=\lambda A^T$
• $(A B)^T=B^T A^T$

证明：

设 $A=\left(a_{i j}\right)_{m \times s}$，$B=\left(b_{i j}\right)_{s \times n}$

记 $A^T=\left(a_{i j}^T\right)_{s \times m}$，$B^T=\left(b_{i j}^T\right)_{n \times s}$

其中 $a_{i j}^T=a_{j i}$，$b_{i j}^T=b_{j i}$

设 $A B=\left(c_{i j}\right)_{m \times n}$，$(A B)^T=\left(c_{i j}^T\right)_{n \times m}$，其中 $c_{i j}{ }^T=c_{j i}$

设 $B^T A^T=\left(d_{i j}\right)_{n \times m}$

转换为证明：$c_{i j}^T=d_{i j}$

$c_{i j}^T=c_{j i}=a_{j 1} b_{1 i}+a_{j 2} b_{2 i}+\ldots+a_{j s} b_{s i}=\left(a_{j 1} a_{j 2} \ldots a_{j s}\right)\left(\begin{array}{c} b_{1 i} \\ b_{2 i} \\ \vdots \\ b_{s i} \\ \end{array}\right) =\left(b_{1 i} b_{2 i} \ldots b_{s i}\right)\left(\begin{array}{c} a_{j 1} \\ a_{j 2} \\ \vdots \\ a_{j s} \\ \end{array}\right)=d_{ij}$

$(AB)^T$ 的 $(i,j)$ 元素 = $AB$ 的 $(j,i)$ 元素 = $A$ 的第 $j$ 行 $\cdot$ $B$ 的第 $i$ 列 = $B^T$ 的第 $i$ 行 $\cdot$ $A^T$ 的第 $j$ 列

推论：$\left(A_1 A_2 \cdots A_l\right)^T=A_l^T \cdots A_2^T A_1^T$

对称矩阵

对称矩阵/对称阵：设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^T=A$，则称 $A$ 为对称矩阵。

对称矩阵关于主对角线对称的元素相等，即

$a_{i j}=a_{j i} \quad (i, j=1, \ldots, n)$

反对称矩阵/反对称阵：设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^T=-A$，则称 $A$ 为反对称矩阵。

反对称矩阵关于主对角线对称的元素相反，即

$a_{i j}=-a_{j i} \quad (i, j=1, \ldots, n)$

且反对称矩阵的主对角线元素全为 $0$。

方阵的行列式

方阵 $A$ 的行列式：由 $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 的元素按照原有位置构成的 $n$ 阶行列式 $\left|a_{i j}\right|$ 称为方阵 $A$ 的行列式，记作 $\left|A\right|$ 或 $detA$。

满足相关运算性质：

• $\left|A^T\right|=|A|$
• $|\lambda A|=\lambda^n|A|$
• 设 $A$ 和 $B$ 是同阶方阵，则 $|A B|=|A||B|$

推论：

若 $A_i$（$i=1,\cdots,l$）是同阶方阵，则

$\left|A_1 A_2 \cdots A_l\right|=\left|A_1\right|\left|A_2\right| \cdots\left|A_l\right|$

设 $A$ 是方阵，则 $\left|A^k\right|=|A|^k$。

• $\left|\begin{array}{ll}A & O \\ C & B\end{array}\right|=|A||B|$

逆矩阵

可逆矩阵：设 $n$ 阶矩阵 $A$ ，$B$，满足：

$B A=A B=E$

则称矩阵 $A$ 是可逆的，矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，简称 $A$ 的逆阵。

记为 $B=A^{-1}$，

$A^{-1} A=A A^{-1}=E$

伴随矩阵：设 $n$ 阶矩阵 $A$ ，各行的元素的代数余子式作为个各列，得到的矩阵称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，记作 $A^*$。

$\begin{aligned} A A^* =\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \ldots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \ldots & A_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \ldots & A_{n n} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & j \\ c_{n 1} & c_{n 2} & \ldots & c_{n n} \end{array}\right) \end{aligned}$

$c_{i j} =\left(a_{i 1} a_{i 2} \ldots a_{i n}\right)\left(\begin{array}{c} A_{j 1} \\ A_{j 2} \\ \vdots \\ A_{j n} \end{array}\right)=a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\ldots+a_{i n} A_{j n}$

又

$a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\ldots+a_{i n} A_{j n}=\left\{\begin{array}{l} |A|,j=i \\ 0,j \neq i \end{array}\right.$

$c_{i j}= \begin{cases}|A|, &j=i \\ 0, &j \neq i\end{cases}$

$A A^* =\left(\begin{array}{cccc} |A| & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & |A| & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & |A| \end{array}\right) =|A|\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{array}\right) =|A| E$

同理可得 $A^* A=|A| E$

【命题】设 $n$ 阶矩阵 $A$ ，$A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则：

$A A^*=A^* A=|A| E$

如果 $\left|A\right| \not=0$，令 $B=\frac{1}{|A|} A^*$

则

• $B A=\left(\frac{1}{|A|} A^*\right) A=\frac{1}{|A|} A^* A=\frac{1}{|A|}|A| E=E$
• $A B=A \left(\frac{1}{|A|} A^*\right)=A \frac{1}{|A|} A^*=\frac{1}{|A|}AA^*=\frac{1}{|A|}|A| E=E$

因此 $A$ 可逆，且 $B=\frac{1}{|A|} A^*A^{-1}$

【定理】矩阵可逆的充分条件：设方阵 $A$ 的行列式 $\left|A\right| \not=0$，则 $A$ 可逆，且 $A$ 的逆矩阵：

$A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^*$

【定理】矩阵可逆的必要条件：设方阵 $A$ 可逆，则 $\left|A\right| \not=0$。

【定理】矩阵可逆的充分必要条件：方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是方阵 $A$ 的行列式 $\left|A\right| \not=0$。

【定理】互逆定理：设 $n$ 阶矩阵 $A$ ，$B$，若 $A B=E$（或 $B A=E$），则 $A$ 和 $B$ 都可逆，且 $A^{-1}=B$，$B^{-1}=A$。

二阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \quad(a d \neq b c)$ 的逆矩阵。

解：$|A|=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c \neq 0$，$A$ 可逆

$A^*=\left(\begin{array}{ll} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right)$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^*=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right)$

逆矩阵的性质

• 若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 可逆，且 $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
• 若 $A$ 可逆，$\lambda \neq 0$，则 $\lambda A$ 可逆，且 $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda} A^{-1}=\lambda^{-1} A^{-1}$

$(\lambda A)\left(\frac{1}{\lambda} A^{-1}\right)=\lambda \frac{1}{\lambda} A A^{-1}=1 E=E$

• 若 $A$，$B$ 同阶可逆，则 $AB$ 可逆，且 $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$

$\begin{gathered} (A B)\left(B^{-1} A^{-1}\right)=A\left(B B^{-1}\right) A^{-1}=A E A^{-1} =A A^{-1}=E \end{gathered}$

推论：$\left(A_1 A_2 \ldots A_l\right)^{-1}=A_l^{-1} \ldots A_2^{-1} A_1^{-1}$

• 若 $A$ 可逆，则 $A^T$ 可逆，且 $\left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T$

$A^T\left(A^{-1}\right)^T =\left(A^{-1} A\right)^T=E^T=E$

• 若 $A$ 可逆，$\left|A^{-1}\right|=|A|^{-1}$

$\left|A A^{-1}\right|=|A|\left|A^{-1}\right|=|E|=1$

即

$\left|A^{-1}\right|=|A|^{-1}$

伴随矩阵的性质

$\left|A^*\right|=|A|^{n-1}$

$|A|\left|A^*\right|=\left|A A^*\right|=\| A|E|=|A|^n|E|=|A|^n$

若 $\left|A\right| \not=0$，$\left|A^*\right|=|A|^{n-1}$

若 $\left|A\right| =0$，$\left|A^*\right|=|A|^{n-1}=0$

逆矩阵的应用

若 $A$（$B$） 可逆，

• 解 $n$ 元一次方程组：

$A X=b \Rightarrow X=A^{-1} b=\frac{1}{|A|} A^* b$

$A X B=C \Rightarrow X=A^{-1} C B^{-1}$

• $A^k=P \Lambda^k P^{-1}$（$P$ 可逆，且 $\Lambda$ 为对角矩阵）

• 矩阵多项式

$\varphi(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$

$n$ 次多项式

$\varphi(A)=a_n A^n+a_{n-1} A^{n-1}+\ldots+a_1 A+a_0 E$

一般地，设

$\Lambda=\left(\begin{array}{llll} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{array}\right)=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right)$

则

$\varphi(\Lambda)=\left(\begin{array}{llll} \varphi\left(\lambda_1\right) & & & \\ & \varphi\left(\lambda_2\right) & & \\ & & \ddots & \\ & & & \varphi\left(\lambda_n\right) \end{array}\right)=\operatorname{diag}\left(\varphi\left(\lambda_1\right), \cdots, \varphi\left(\lambda_n\right)\right)$

分块矩阵

分块矩阵：对于行数和列数较多的矩阵，可以采用分块法将矩阵化成若干小块，得到子矩阵为元素的分块矩阵。

分块矩阵的线性运算

设 $A$ 和 $B$ 是同型矩阵，且采用相同的分块方式，得到：

$A=\left(\begin{array}{ccc} A_{11} & \cdots & A_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s 1} & \cdots & A_{s r} \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ccc} B_{11} & \cdots & B_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ B_{s 1} & \cdots & B_{s r} \end{array}\right)$

$\lambda A=\left(\begin{array}{ccc} \lambda A_{11} & \cdots & \lambda A_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ \lambda A_{s 1} & \cdots & \lambda A_{s r} \end{array}\right) \quad A+B=\left(\begin{array}{ccc} A_{11}+B_{11} & \cdots & A_{1 r}+B_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s 1}+B_{s 1} & \cdots & A_{s r}+B_{s r} \end{array}\right)$

分块矩阵的乘积

设 $A$ 是一个 $m \times l$ 的矩阵，$B$ 是一个 $l \times n$ 的矩阵，它们分别分块成：

$A=\left(\begin{array}{ccc} A_{11} & \cdots & A_{1 t} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s 1} & \cdots & A_{s t} \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ccc} B_{11} & \cdots & B_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ B_{t 1} & \cdots & B_{t r} \end{array}\right)$

$A B=\left(\begin{array}{ccc} C_{11} & \cdots & C_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ C_{s 1} & \cdots & C_{s r} \end{array}\right)$

分块矩阵的转置

设 $A$ 是一个 $m \times l$ 的矩阵，将它分块成：

$A=\left(\begin{array}{ccc} A_{11} & \cdots & A_{1 t} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s 1} & \cdots & A_{s t} \end{array}\right)$

$A^T=\left(\begin{array}{ccc} A_{11}^T & \cdots & A_{s 1}^T \\ \vdots & & \vdots \\ A_{1 r}^T & \cdots & A_{s r}^T \end{array}\right)$

分块对角矩阵

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 是分块对角阵，其中 $A_i$ 都是方阵：

$A=\left(\begin{array}{llll} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s \end{array}\right)$

• $|A|=\left|A_1\right|\left|A_2\right| \cdots\left|A_s\right|$
• 若 $A_i$ 都可逆，则 $A$ 可逆，且

$A^{-1}=\left(\begin{array}{llll} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{llll} A_1^{-1} & & & \\ & A_2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s^{-1} \end{array}\right)$

分块三角矩阵

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 是分块三角阵，其中 $A_i$ 都是方阵：

$A=\left(\begin{array}{cccc} A_1 & C_{12} & \cdots & C_{1 s} \\ & A_2 & & C_{2 s} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & A_s \end{array}\right)$

$|A|=\left|A_1\right|\left|A_2\right| \cdots\left|A_s\right|$