矩阵
矩阵:由 m×n 个数 aij(i=1,⋯,m;j=1,⋯,n)排成的 m 行 n 列的数表,用括号将数表括起来,称为 m 行 n 列的矩阵,记作:
A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2………a1na2n⋮amn⎠⎟⎟⎟⎟⎞=(aij)=(aij)m×n
aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列,称为元素/元
n 阶矩阵/n 阶方阵:n 行 n 列的矩阵。
A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎟⎞
行矩阵/行向量:只有一行的矩阵。
A=(a1,a2,…,an)
列矩阵/列向量:只有一列的矩阵
B=⎝⎜⎜⎜⎜⎛b1b2⋮bm⎠⎟⎟⎟⎟⎞
同型矩阵:两个矩阵的行数和列数相等。
相等矩阵:两个同型矩阵对应元素都相等,则称它们相等。
零矩阵:元素全为 0 的矩阵。
单位矩阵/单位阵:如果一个 n 阶方阵的主对角线上的元素全为 1,其他元素全为 0,则称 n 阶单位矩阵,记为 E 或 I。
E=⎝⎜⎜⎜⎜⎛10⋮001⋮0⋯⋯⋯00⋮1⎠⎟⎟⎟⎟⎞
对角矩阵:如果果一个 n 阶方阵的不在主对角线上的元素全为 0,则称 n 阶对角矩阵,记为 Λ 或 diag(⋯)。
Λ=⎝⎜⎜⎜⎜⎛λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋯00⋮λn⎠⎟⎟⎟⎟⎞=diag(λ1,λ2,…,λn)
负矩阵:设矩阵 A=(aij) ,则称矩阵 (−aij) 为 A 的负矩阵,记作 −A,则 −A=(−aij)。
A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋮⋯a1na2namn⎠⎟⎟⎟⎟⎞−A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛−a11−a21⋮−am1−a12−a22⋮−am2⋯⋯⋮⋯−a1n−a2n⋮−amn⎠⎟⎟⎟⎟⎞
线性变换 T:
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧y1=y2=ym=a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+…+amnxn
将 n 维变量 (x1,x2,…,xn) 变成 m 维向量 (y1,y2,…,ym):
T:(x1,x2,…,xn)→(y1,y2,…,ym)
称 T 是 n 维空间 Rn 到 m 维空间 Rm 的线性变换。
未知数的系数构成方程组的系数矩阵
A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋮⋯a1na2n⋮amn⎠⎟⎟⎟⎟⎞
运算
加法
矩阵的加法:设有两个 m×n 矩阵 A=(aij) 和 B=(bij),则 A 和 B 的和,记作 A+B,定义为以下矩阵:
A+B=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11+b11a21+b21⋮am1+bm1a12+b12a22+b22⋮am2+bm2⋯⋯⋯⋯a1n+b1na2n+b2n⋮amn+bmn⎠⎟⎟⎟⎟⎞
满足相关运算律:矩阵相加实际就是对应元素相加
- 交换律:A+B=B+A ↔ aij+bij=bij+aij
- 结合律:(A+B)+C=A+(B+C) ↔ (aij+bij)+cij=aij+(bij+cij)
- 存在加法零元素:A+O=A ↔ aij+0=ai
减法
矩阵的减法:A−B=A+(−B)
乘法
数乘矩阵:设有矩阵 A=(aij),λ 是一个实数,则 λ 与矩阵 A 的乘积,记作 λA 或 Aλ,定义为以下矩阵:
λA=⎝⎜⎜⎜⎜⎛λa11λa21⋮λam1λa12λa22⋮λam2⋯⋯…⋯λa1nλa2n⋮λamn⎠⎟⎟⎟⎟⎞=Aλ
满足相关运算律:矩阵的数乘实际就是该数乘以矩阵的所有元素
- (λμ)A=λ(μA) ↔ (λμ)aij=λ(μaij)
- (λ+μ)A=λA+μA ↔ (λ+μ)aij=λaij+μaij
- λ(A+B)=λA+λB ↔ λ(aij+bij)=λaij+λbij
- 1A=A ↔ 1aij=aij
- (−1)A=−A ↔ (−1)aij=−aij
矩阵相加和数乘矩阵称为矩阵的线性运算。
数量矩阵/纯量矩阵:数 λ 与单位矩阵 E 的乘积称为数量矩阵或纯量矩阵(纯量阵)。
λE=λ⎝⎜⎜⎜⎜⎛10⋮001⋮0⋯⋯⋯⋯00⋮1⎠⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎛λ0⋮00λ⋮0⋯⋯⋯⋯00⋮λ⎠⎟⎟⎟⎟⎞
矩阵的乘法:设 A=(aij) 是一个 m×s 矩阵,B=(bij) 是一个 s×n 矩阵,则 A 与 B 的乘积,记作 AB ,定义为一个 m×n 的矩阵 C=(cij),其中 cij 是 A 的第 i 行元素 ai1,ai2,…,ais 分别与 B 的第 j 列的元素 b1j,b2j,…,bsj 的乘积之和。
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=(ai1ai2…ais)⎝⎜⎜⎜⎜⎛b1jb2j⋮bsj⎠⎟⎟⎟⎟⎞
矩阵可乘的条件是 A 的列数与 B 的行数相等。
满足相关运算律:
- (AB)C=A(BC)
- λ(AB)=(λA)B=A(λB)
- C(A+B)=CA+CB
- (A+B)C=AC+BC
- EA=A
- AE=A
可交换矩阵:如果 AB=BA,则称 A 和 B 可交换。
单位矩阵或纯量矩阵可与方阵可交换:
EA=A=AE
(kE)A=kA=A(kE)
线性变换的矩阵表示
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧y1=y2=ym=a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+…+amnxn
用矩阵表示为:
⎝⎜⎜⎜⎜⎛y1y2⋮ym⎠⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2…………a1na2n⋮amn⎠⎟⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎟⎞
简写为:
Y=AX
矩阵的幂
矩阵的幂:设 A=(aij) 是 n 阶方阵,定义 A 的幂,A1=A,A2=AA,⋯,Ak+1=AkA,其中 k 是正整数。
An=AA⋯A
满足相关运算律:
- AkAl=Ak+l
- (Ak)l=Akl
注意:除非满足 A 与 B 可交换,即 AB=BA,否则下式不成立
- (AB)k=AkBk:(AB)2=(AB)(AB)=ABAB=A2B2
- (A+B)2=A2+2AB+B2:(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2
- (A+B)(A−B)=A2−B2:(A+B)(A−B)=A2−AB+BA−B2
旋转变换
将坐标平面上的点 P(x,y) 绕原点逆时针旋转角度 φ 得到点 P(x′,y′)
旋转变换:
(x′y′)=(cosφsinφ−sinφcosφ)(xy)
结合矩阵的幂,应该有 (cosφsinφ−sinφcosφ)n=(cosnφsinnφ−sinnφcosnφ)
证明:
当 n=1 时,等式显然成立
当 n=k 时,等式成立
(cosφsinφ−sinφcosφ)k+1=(cosφsinφ−sinφcosφ)k(cosφsinφ−sinφcosφ)=(coskφsinkφ−sinkφcoskφ)(cosφsinφ−sinφcosφ)=(coskφcosφ−sinkφsinφsinkφcosφ+coskφsinφ−coskφsinφ−sinkφcosφ−sinkφsinφ+coskφcosφ)
又 cosαcosβ−sinαsinβ=cos(α+β)sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)
故上式为:(cos(k+1)φsin(k+1)φ−sin(k+1)φcos(k+1)φ)
得证。
转置矩阵
转置矩阵:把矩阵 A 的行换成同序数的列,把列换成同序数的行,得到的矩阵。记作 AT。
设 A:
A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋮amn⎠⎟⎟⎟⎟⎞m×n
则 AT:
AT=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋯⋯am1am2⋮amn⎠⎟⎟⎟⎟⎞n×m
满足相关运算律:
- (AT)T=A
- (A+B)T=AT+BT
- (λA)T=λAT
- (AB)T=BTAT
证明:
设 A=(aij)m×s,B=(bij)s×n
记 AT=(aijT)s×m,BT=(bijT)n×s
其中 aijT=aji,bijT=bji
设 AB=(cij)m×n,(AB)T=(cijT)n×m,其中 cijT=cji
设 BTAT=(dij)n×m
转换为证明:cijT=dij
cijT=cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=(aj1aj2…ajs)⎝⎜⎜⎜⎜⎛b1ib2i⋮bsi⎠⎟⎟⎟⎟⎞=(b1ib2i…bsi)⎝⎜⎜⎜⎜⎛aj1aj2⋮ajs⎠⎟⎟⎟⎟⎞=dij
(AB)T 的 (i,j) 元素 = AB 的 (j,i) 元素 = A 的第 j 行 ⋅ B 的第 i 列 = BT 的第 i 行 ⋅ AT 的第 j 列
推论:(A1A2⋯Al)T=AlT⋯A2TA1T
对称矩阵
对称矩阵/对称阵:设 n 阶矩阵 A 满足 AT=A,则称 A 为对称矩阵。
对称矩阵关于主对角线对称的元素相等,即
aij=aji(i,j=1,…,n)
反对称矩阵/反对称阵:设 n 阶矩阵 A 满足 AT=−A,则称 A 为反对称矩阵。
反对称矩阵关于主对角线对称的元素相反,即
aij=−aji(i,j=1,…,n)
且反对称矩阵的主对角线元素全为 0。
方阵的行列式
方阵 A 的行列式:由 n 阶矩阵 A=(aij) 的元素按照原有位置构成的 n 阶行列式 ∣aij∣ 称为方阵 A 的行列式,记作 ∣A∣ 或 detA。
满足相关运算性质:
- ∣∣∣AT∣∣∣=∣A∣
- ∣λA∣=λn∣A∣
- 设 A 和 B 是同阶方阵,则 ∣AB∣=∣A∣∣B∣
推论:
若 Ai(i=1,⋯,l)是同阶方阵,则
∣A1A2⋯Al∣=∣A1∣∣A2∣⋯∣Al∣
设 A 是方阵,则 ∣∣∣Ak∣∣∣=∣A∣k。
- ∣∣∣∣∣ACOB∣∣∣∣∣=∣A∣∣B∣
逆矩阵
可逆矩阵:设 n 阶矩阵 A ,B,满足:
BA=AB=E
则称矩阵 A 是可逆的,矩阵 B 称为 A 的逆矩阵,简称 A 的逆阵。
记为 B=A−1,
A−1A=AA−1=E
伴随矩阵:设 n 阶矩阵 A ,各行的元素的代数余子式作为个各列,得到的矩阵称为矩阵 A 的伴随矩阵,记作 A∗。
AA∗=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎜⎛A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n………An1An2⋮Ann⎠⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎛c11c21⋮cn1c12c22⋮cn2………c1nc2njcnn⎠⎟⎟⎟⎟⎞
cij=(ai1ai2…ain)⎝⎜⎜⎜⎜⎛Aj1Aj2⋮Ajn⎠⎟⎟⎟⎟⎞=ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn
又
ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn={∣A∣,j=i0,j=i
cij={∣A∣,0,j=ij=i
AA∗=⎝⎜⎜⎜⎜⎛∣A∣0⋮00∣A∣⋮0………00⋮∣A∣⎠⎟⎟⎟⎟⎞=∣A∣⎝⎜⎜⎜⎜⎛10⋮001⋮0………00⋮1⎠⎟⎟⎟⎟⎞=∣A∣E
同理可得 A∗A=∣A∣E
【命题】设 n 阶矩阵 A ,A∗ 是 A 的伴随矩阵,则:
AA∗=A∗A=∣A∣E
如果 ∣A∣=0,令 B=∣A∣1A∗
则
- BA=(∣A∣1A∗)A=∣A∣1A∗A=∣A∣1∣A∣E=E
- AB=A(∣A∣1A∗)=A∣A∣1A∗=∣A∣1AA∗=∣A∣1∣A∣E=E
因此 A 可逆,且 B=∣A∣1A∗A−1
【定理】矩阵可逆的充分条件:设方阵 A 的行列式 ∣A∣=0,则 A 可逆,且 A 的逆矩阵:
A−1=∣A∣1A∗
【定理】矩阵可逆的必要条件:设方阵 A 可逆,则 ∣A∣=0。
【定理】矩阵可逆的充分必要条件:方阵 A 可逆的充分必要条件是方阵 A 的行列式 ∣A∣=0。
【定理】互逆定理:设 n 阶矩阵 A ,B,若 AB=E(或 BA=E),则 A 和 B 都可逆,且 A−1=B,B−1=A。
二阶矩阵 A=(acbd)(ad=bc) 的逆矩阵。
解:∣A∣=∣∣∣∣∣acbd∣∣∣∣∣=ad−bc=0,A 可逆
A∗=(A11A12A21A22)=(d−c−ba)
A−1=∣A∣1A∗=ad−bc1(d−c−ba)
逆矩阵的性质
- 若 A 可逆,则 A−1 可逆,且 (A−1)−1=A
- 若 A 可逆,λ=0,则 λA 可逆,且 (λA)−1=λ1A−1=λ−1A−1
(λA)(λ1A−1)=λλ1AA−1=1E=E
- 若 A,B 同阶可逆,则 AB 可逆,且 (AB)−1=B−1A−1
(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AEA−1=AA−1=E
推论:(A1A2…Al)−1=Al−1…A2−1A1−1
- 若 A 可逆,则 AT 可逆,且 (AT)−1=(A−1)T
AT(A−1)T=(A−1A)T=ET=E
- 若 A 可逆,∣∣∣A−1∣∣∣=∣A∣−1
∣∣∣AA−1∣∣∣=∣A∣∣∣∣A−1∣∣∣=∣E∣=1
即
∣∣∣A−1∣∣∣=∣A∣−1
伴随矩阵的性质
∣A∗∣=∣A∣n−1
∣A∣∣A∗∣=∣AA∗∣=∥A∣E∣=∣A∣n∣E∣=∣A∣n
若 ∣A∣=0,∣A∗∣=∣A∣n−1
若 ∣A∣=0,∣A∗∣=∣A∣n−1=0
逆矩阵的应用
若 A(B) 可逆,
AX=b⇒X=A−1b=∣A∣1A∗b
AXB=C⇒X=A−1CB−1
-
Ak=PΛkP−1(P 可逆,且 Λ 为对角矩阵)
-
矩阵多项式
φ(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0
n 次多项式
φ(A)=anAn+an−1An−1+…+a1A+a0E
一般地,设
Λ=⎝⎜⎜⎜⎛λ1λ2⋱λn⎠⎟⎟⎟⎞=diag(λ1,λ2,⋯,λn)
则
φ(Λ)=⎝⎜⎜⎜⎛φ(λ1)φ(λ2)⋱φ(λn)⎠⎟⎟⎟⎞=diag(φ(λ1),⋯,φ(λn))
分块矩阵
分块矩阵:对于行数和列数较多的矩阵,可以采用分块法将矩阵化成若干小块,得到子矩阵为元素的分块矩阵。
分块矩阵的线性运算
设 A 和 B 是同型矩阵,且采用相同的分块方式,得到:
A=⎝⎜⎜⎛A11⋮As1⋯⋯A1r⋮Asr⎠⎟⎟⎞B=⎝⎜⎜⎛B11⋮Bs1⋯⋯B1r⋮Bsr⎠⎟⎟⎞
λA=⎝⎜⎜⎛λA11⋮λAs1⋯⋯λA1r⋮λAsr⎠⎟⎟⎞A+B=⎝⎜⎜⎛A11+B11⋮As1+Bs1⋯⋯A1r+B1r⋮Asr+Bsr⎠⎟⎟⎞
分块矩阵的乘积
设 A 是一个 m×l 的矩阵,B 是一个 l×n 的矩阵,它们分别分块成:
A=⎝⎜⎜⎛A11⋮As1⋯⋯A1t⋮Ast⎠⎟⎟⎞B=⎝⎜⎜⎛B11⋮Bt1⋯⋯B1r⋮Btr⎠⎟⎟⎞
AB=⎝⎜⎜⎛C11⋮Cs1⋯⋯C1r⋮Csr⎠⎟⎟⎞
分块矩阵的转置
设 A 是一个 m×l 的矩阵,将它分块成:
A=⎝⎜⎜⎛A11⋮As1⋯⋯A1t⋮Ast⎠⎟⎟⎞
AT=⎝⎜⎜⎛A11T⋮A1rT⋯⋯As1T⋮AsrT⎠⎟⎟⎞
分块对角矩阵
设 n 阶矩阵 A 是分块对角阵,其中 Ai 都是方阵:
A=⎝⎜⎜⎜⎛A1A2⋱As⎠⎟⎟⎟⎞
- ∣A∣=∣A1∣∣A2∣⋯∣As∣
- 若 Ai 都可逆,则 A 可逆,且
A−1=⎝⎜⎜⎜⎛A1A2⋱As⎠⎟⎟⎟⎞−1=⎝⎜⎜⎜⎛A1−1A2−1⋱As−1⎠⎟⎟⎟⎞
分块三角矩阵
设 n 阶矩阵 A 是分块三角阵,其中 Ai 都是方阵:
A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛A1C12A2⋯⋱C1sC2s⋮As⎠⎟⎟⎟⎟⎞
∣A∣=∣A1∣∣A2∣⋯∣As∣