二阶与三阶行列式
==解二元线性方程组 ⟶ 二阶行列式==
{a11x1+a12x2=b1,a21x1+a22x2=b2.
- b1 和 b2:常数
- aij:第i个方程的第 j 个未知数 xj 的系数
两个方程两端同时乘以 a22 和 a12,
{a22(a11x1+a12x2)=a22b1a12(a21x1+a22x2)=a12b2
两式相减,
(a11a22−a12a21)x1=b1a22−a12b2
两个方程两端同时乘以 a21 和 a11,
{a21(a11x1+a12x2)=a21b1a11(a21x1+a22x2)=a11b2
两式相减,
(a11a22−a12a21)x2=a11b2−b1a21
如果a11a22−a12a21=0,可以解出:
x1=a11a22−a12a21b1a22−a12b2x2=a11a22−a12a21a11b2−b1a21
数表:
a11a21a12a22
表达式:a11a22−a12a21
二阶行列式:∣∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣∣
- aij:(i,j)元,位于第 i 行第 j 列的元素
- i:行标
- j:列标
利用二阶行列式,式子简记为:
b1a22−a12b2=∣∣∣∣∣b1b2a12a22∣∣∣∣∣,a11b2−b1a21=∣∣∣∣∣a11a21b1b2∣∣∣∣∣.
若记
D=∣∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣∣,D1=∣∣∣∣∣b1b2a12a22∣∣∣∣∣,D2=∣∣∣∣∣a11a21b1b2∣∣∣∣∣,
利用二阶行列式的概念,改写 x1,x2 的表示:
x1=DD1=∣∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1b2a12a22∣∣∣∣∣,x2=DD2=∣∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21b1b2∣∣∣∣∣.
==解三元线性方程组 ⟶ 三阶行列式==
⎩⎪⎨⎪⎧a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3
- b1、b2 和 b3:常数
- aij:第 i 个方程的第 j 个未知数 xj 的系数
后两个方程两端同时乘以 a33 和 a22,
{a33(a21x1+a22x2+a23x3)=a33b2a23(a31x1+a32x2+a33x3)=a23b3
两式相减,
(a21a33−a23a31)x1+(a22a33−a23a32)x2=b2a33−a23b3
后两个方程两端同时乘以 a32 和 a22,
{a32(a21x1+a22x2+a23x3)=a32b2a22(a31x1+a32x2+a33x3)=a22b3
两式相减,
(a21a32−a22a31)x1+(a23a32−a22a33)x3=b2a32−a22b3
目前得到有方程(1)(2),
(a21a33−a23a31)x1+(a22a33−a23a32)x2(a21a32−a22a31)x1+(a23a32−a22a33)x3=b2a33−a23b3=b2a32−a22b3
原方程组的第一个方程同时乘以 a22a33−a23a32 ,得到方程(3)’
(a11a22a33−a11a23a32)x1+(a12a22a33−a12a23a32)x2+(a13a22a33−a13a23a32)x3=b1a22a33−b1a23a32
方程(1)两端乘以−a12,得到方程(1)‘
(a12a23a31−a12a21a33)x1+(a12a23a32−a12a22a33)x2=a12a23b3−a12b2a33
方程(2)两端乘以a13,得到方程(2)‘
(a13a21a32−a13a22a31)x1+(a13a23a32−a13a22a33)x3a13b2a32−a13a22b3
联立方程(1)‘、(2)‘、(3)‘
(a11a22a33−a11a23a32)x1+(a12a22a33−a12a23a32)x2+(a13a22a33−a13a23a32)x3(a12a23a31−a12a21a33)x1+(a12a23a32−a12a22a33)x2(a13a21a32−a13a22a31)x1+(a13a23a32−a13a22a33)x3=b1a22a33−b1a23a32=a12a23b3−a12b2a33=a13b2a32−a13a22b3
三式相加,得到
(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31)x1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32−a13a22b3−a12b2a33−b1a23a32
数表:
a11a21a31a12a22a32a13a23a33
表达式:a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
三阶行列式:∣∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣∣
利用三阶行列式,等式简记为:
∣∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣∣x1=∣∣∣∣∣∣∣b1b2b3a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣∣
同理得到
∣∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣∣x2=∣∣∣∣∣∣∣a11a21a31b1b2b3a13a23a33∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣∣x3=∣∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32b1b2b3∣∣∣∣∣∣∣
若记
D=∣∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣∣,D1=∣∣∣∣∣∣∣b1b2b3a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣∣,D2=∣∣∣∣∣∣∣a11a21a31b1b2b3a13a23a33∣∣∣∣∣∣∣,D3=∣∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32b1b2b3∣∣∣∣∣∣∣,
利用三阶行列式的概念,改写 x1,x2,x3 的表示:
x1=DD1,x2=DD2,x3=DD3
行列式按一行展开:这里举例按照第一行展开
∣∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣∣=a11∣∣∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣∣∣−a12∣∣∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣∣∣+a13∣∣∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣∣∣
再进行拓展
三阶在空间解析几何中
向量积:a=a1i+a2j+a3kb=b1i+b2j+b3k
a×b=∣∣∣∣∣∣∣ia1b1ja2b2ka3b3∣∣∣∣∣∣∣
三种表示方法:
a×b=∣∣∣∣∣a2b2a3b3∣∣∣∣∣i−∣∣∣∣∣a1b1a3b3∣∣∣∣∣j+∣∣∣∣∣a1b1a2b2∣∣∣∣∣k
a×b=∣∣∣∣∣a2b2a3b3∣∣∣∣∣i+∣∣∣∣∣a3b3a1b1∣∣∣∣∣j+∣∣∣∣∣a1b1a2b2∣∣∣∣∣k
a×b={∣∣∣∣∣a2b2a3b3∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣a3b3a1b1∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣a1b1a2b2∣∣∣∣∣}
以上三种表示方式都是正确的
混合积
- a=a1i+a2j+a3k={a1,a2,a3}
- b=b1i+b2j+b3k={b1,b2,b3}
- c=c1i+c2j+c3k={c1,c2,c3}
b×c={∣∣∣∣∣b2c2b3c3∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣b3c3b1c1∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣b1c1b2c2∣∣∣∣∣}
[abc]a⋅(b×c)={a1,a2,a3}⋅{∣∣∣∣∣b2c2b3c3∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣b3c3b1c1∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣b1c1b2c2∣∣∣∣∣}=a1∣∣∣∣∣b2c2b3c3∣∣∣∣∣+a2∣∣∣∣∣b3c3b1c1∣∣∣∣∣+a3∣∣∣∣∣b1c1b2c2∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣∣∣∣∣∣∣
全排列和对换
排列及其逆序数
全排列(排列):把n个不同的元素排成一列
逆序:对于 n 个不同的元素,先规定各元素之间有一个标准次序(例如 n 个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是在这 n 个元素的任一排列中,当某一对元素的先后次序与标准次序不同时,就说它构成 1 个逆序。
逆序数:一个排列中所有逆序的总数。
逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
计算排序的逆序数的方法
不失一般性,不妨设 n 个元素为1至n这n个自然数,并规定由小到大为标准次序。设 p1p2...pn 为这n个自然数的一个排列,考虑元素 pi(i=1,2,…,n ) ,如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有 ti 个,就说 pi 这个元素的逆序数是 ti。
排列的逆序数=全体元素的逆序数之总和:t=t1+t2+⋯+tn=∑i=1nti
对换
对换:在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动。
【定理】一个排列中的任意两个元素兑换,排列改变奇偶性。
证明:
a1⋯alabb1⋯bm
- 相邻对换 a1⋯alabb1⋯bm⟶a1⋯albab1⋯bm
- a<b:a的逆序数增加1而b的逆序数不变
- a>b:a的逆序数不变而b的逆序数增加1
- 一般对换 a1⋯alab1⋯bmbc1⋯cn⟶a1⋯albb1⋯bmac1⋯cn
- a1⋯alab1⋯bmbc1⋯cn⟶a1⋯alabb1⋯bmc1⋯cn:m次对换
- a1⋯alabb1⋯bmc1⋯cn⟶a1⋯albb1⋯bmac1⋯cn :m+1次对换
累计2m+1次相邻对换,奇偶性发生变换。
n 阶行列式的定义
回忆三阶行列式
=∣∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣∣a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
任意一项表示为:a1p1a2p2a3p3
(p1,p2,p3)={(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}
带正号的三项列标排列是123,231,312;(偶排列)
带负号的三项列标排列是132,213,321。(奇排列)
各项的正负号表示 (−1)t(t 为列标排序的逆序数)
因此改写三阶行列式
∣∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣∣=∑(−1)ta1p1a2p2a3p3
n 阶行列式:
a11a21…an1a12a22…an2…………a1na2n…ann
自由组合不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号(−1)t并求代数和,得到n阶行列式。
按照行顺序:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21…an1a12a22…an2…………a1na2n…ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=p1,p2,…,pn∑(−1)ta1p1a2p2⋯anpn
按照列顺序:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21…an1a12a22…an2…………a1na2n…ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=p1,p2,…,pn∑(−1)tap11ap22⋯apnn
任意顺序:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21…an1a12a22…an2…………a1na2n…ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∑(−1)t(r1...rn)+t(s1...sn)ar1s1ar2s2⋯arnsn
记作 det(aij)
注:当 n=1,一阶行列式 ∣a∣=a
主对角行列式:斜边为主对角线。
∣∣∣∣∣∣∣∣∣λ1λ2…λn∣∣∣∣∣∣∣∣∣=λ1λ2⋯λ,
次对角行列式:斜边为次对角行列式。
∣∣∣∣∣∣∣∣∣λn…λ2λ1∣∣∣∣∣∣∣∣∣=λ1λ2⋯λ,
行列式的性质
转置行列式:
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
DT=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋯an1an2⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
【性质1】行列式与它的转置行列式相等。
证明:
D=det(aij) 的转置行列式 D=det(bji),按照行列式的定义:
DT=∑(−1)tb1p1b2p2⋯bnpn=∑(−1)tap11ap22⋯apnn=D
【性质2】对换行列式的两行(列),行列式变号。
证明:
D 交换第 i 行与第 j 列得到 D1
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣………………x……………………………y………………∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
D′=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣……………………x…………………y……………………∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
任取 D 中的一项:a1p1…aipi…ajpj…anpn=a1p1…x…y…anpn,符号为 (−1)τ(p1…pi…pj…pn)。
这一项在 D′ 中:a1p1…x…y…anpn=b1p1…bjpi…bipj…bnpn=b1p1…bipj…bjpi…bnpn,符号为 (−1)τ(p1…pj…pi…pn)==−(−1)τ(p1…pi⋯pj…pn)。
得到这一项在 D′ 和 D 中所带符号相反。
这里为任意所取的一项,那么所有对应项所带符号恰好相反。
所以 D′=D。
【推论】
-
奇数次互换行列式的两行(两列),行列式变号。
-
偶数次互换行列式的两行(两列),行列式不变。
【推论】如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零。
【性质3】行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 k,等于用数 k 乘此行列式。
证明:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11…kai1…an1a12…kai2…an2……………a1n…kain…ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∑(−1)τ(p1p2…pn)a1p1⋯(kaipi)⋯anpn=k∑(−1)τ(p1p2⋯pn)a1p1⋯aipi⋯anpn=KD
【推论】
【性质4】行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零。
【性质5】若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如第 i 行的元素都是两数之和:
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮bi1+ci1⋮an1a12⋮bi2+ci2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮bin+cin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
则 D 等于下列两个行列式之和:
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮bi1⋮an1a12⋮bi2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮bin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ci1⋮an1a12⋮ci2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮cin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
证明:
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮bi1+ci1⋮an1a12⋮bi2+ci2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮bin+cin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣===∑(−1)τ(p1p2⋯pn)a1p1…(bipi+cipi)⋯anpn∑(−1)τ(p1p2⋯pn)a1p1…bipi⋯anpn+∑(−1)τ(p1p2⋯pn)a1p1…cipi⋯anpnD1+D2
性质3和性质5统称为行列式的线性性质(线性运算)。
【性质6】把行列式的某一行(列)的各元素乘以同样数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变。
证明:利用【性质4】和【性质5】可以推出来。
行列式按一行(列)展开
余子式:在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下来的 n−1 阶行列式称为元素 aij ,记作 Mij。
代数余子式:(−1)i+jMij,记作 Aij。
【定理】行列式等于它的某一行(列)的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和。
【引理】设 n 阶行列式 D 的第 i 行, 除 aij 外都为零, 则 D=aijAij。
D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj
【命题】行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于 0。
ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(j=i)
a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(j=i)
将【定理】和【命题】统一表示:
ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn={D,j=i0,j=i
范德蒙行列式:
Vn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12⋮x1n−2x1n−11x2x22⋮x2n−2x2n−11x3x32⋮x3n−2x3n−1⋯⋯⋯⋯⋯1xnxn2⋮xnn−2xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
V2=∣∣∣∣∣1x11x2∣∣∣∣∣=x2−x1
假设等式对于 n−1 有 Vn−1=∏n≥i>j≥2(xi−xj)
从最后一行起,依次用下一行减去上一行的 x1 倍
Vn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣100⋮001x2−x1x22−x1x2⋮x2n−2−x1x2n−3x2n−1−x1x2n−21x3−x1x32−x1x3⋮x3n−2−x1x3n−3x3n−1−x1x3n−2⋯⋯⋯⋯…1xn−x1xn2−x1xn⋮xnn−2−x1xnn−3xnn−1−x1xnn−2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
用上述【定理】,
Vn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x2−x1x22−x1x2⋮x2n−2−x1x2n−3x2n−1−x1x2n−2x3−x1x32−x1x3⋮x3n−2−x1x3n−3x3n−1−x1x3n−2⋯⋯⋯…xn−x1xn2−x1xn⋮xnn−2−x1xnn−3xnn−1−x1xnn−2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Vn=(x2−x1)(x3−x1)⋯(xn−x1)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x2⋮x2n−3x2n−21x3⋮x3n−3x3n−2⋯⋯⋯⋯1xn⋮xnn−3xnn−2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
即:
Vn=(x2−x1)(x3−x1)⋯(xn−x1)Vn−1=(x2−x1)(x3−x1)…(xn−x1)n≥i>j≥2∏(xi−xj)=n≥i≥2∏(xi−x1)⋅n≥i>j≥2∏(xi−xj)=n≥i>j≥1∏(xi−xj)
行列式按 k 行(列)展开
子式:设 D 是 n 阶行列式,在 D 中任意选定 k 行 k 列(1⩽k⩽n),则位于这些行和列的交叉上的 k2 个元素按照原来位置组成的 k 阶行列式 M 称为 D 的一个 k 阶子式。
子式的余子式:在 D 中划去上述 k 行 k 列后余下的元素按照原来的位置组成的 n−k 阶行列式 M′ 称为 D 的一个 k 阶子式 M 的余子式。
代数余子式:设 M 由 D 中的第 i1,i2,…,ik 行和第 j1,j2,…,jk 的元素构成的 k 阶子式,M′ 是 M 的余子式,则
A=(−1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M′
称为 D 的一个 k 阶子式 M 的代数余子式。
【定理】拉普拉斯定理:设在 n 阶行列式 D 中任意取定 k 行(1⩽k⩽n),则由这 k 行元素所组成的一切 k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式 D。
行列式的翻转与旋转
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
上下翻转:
Du=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣an1an−1,1⋮a11an2an−1,2⋮a12⋯⋯⋯annan−1,n⋮a1n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
有:
Du=(−1)2n(n−1)D
左右翻转:
Dl=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1na2n⋮anna1,n−1a2,n−1⋮an,n−1⋯⋯⋯a11a21⋮an1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
有:
Dl=(−1)2n(n−1)D
主对角线翻转:转置
DT=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋯an1an2⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
有:
DT=D
次对角线翻转:
Ds=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣annan,n−1⋮an1an−1,nan−1,n−1⋮an−1,1⋯⋯⋯a1na1,n−1⋮a11∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
有:
Ds 经过上下翻转和左右翻转得到 DT
Ds=(−1)2n(n−1)(−1)2n(n−1)DT=DT=D
逆时针旋转 90∘:
D90=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1na1,n−1⋮a11a2na2,n−1⋮a21⋯⋯⋯annan,n−1⋮an1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
有:
D90 经过转置,左右翻转得到 D
D90=(−1)2n(n−1)D
逆时针旋转 180∘:
D180=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣annan−1,n⋮a1nan,n−1an−1,n−1⋮a1,n−1⋯⋯⋯an1an−1,1⋮a11∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
有:
D90 逆时针旋转 90∘ 得到 D180
D180=(−1)2n(n−1)D90=(−1)2n(n−1)(−1)2n(n−1)D=D
顺时针旋转 90∘:
D90′ 是 D 顺时针旋转 90∘ 得到的,换言之,D 是 D90′ 逆时针旋转 90∘ 得到的。
D=(−1)2n(n−1)D90′
(−1)2n(n−1)D=(−1)2n(n−1)(−1)2n(n−1)D90′
D90′=(−1)2n(n−1)D
顺时针旋转 180∘:
同上可得:
D180′=D
操作 |
关系 |
上下翻转 |
Du=(−1)2n(n−1)D |
左右翻转 |
Dl=(−1)2n(n−1)D |
主对角线翻转 |
DT=D |
次对角线翻转 |
Ds=D |
逆时针旋转 90∘ |
D90=(−1)2n(n−1)D |
逆时针旋转 180∘ |
D180=D |
顺时针旋转 90∘ |
D90′=(−1)2n(n−1)D |
顺时针旋转 180∘ |
D180′=D |
计算行列式
行列式的计算
意义 |
记号 |
行列式 |
交换 i 和 j 两行 |
ri↔rj |
行列式变号 |
第 i 行乘以 k |
ri×k |
行列式乘以 k |
第 j 行乘以 k 加到第 i 行 |
ri+krj |
行列式不变 |
交换 i 和 j 两列 |
ci↔cj |
行列式变号 |
第 i 列乘以 k |
ci×k |
行列式乘以 k |
第 j 列乘以 k 加到第 i 列 |
ci+kcj |
行列式不变 |
对应上述【性质2】,【性质3】和【性质5】
爪型行列式:
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a0d1d2⋮dnb1a1b2a2⋯⋱bnan∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
其余元素均为 0。
经过 c1−ajdj,j=2,⋯,n,
得到
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a0−a1d1b1−⋯−andnbn00⋮0b1a1b2a2⋯⋱bnan∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
因此
D=(a0−a1d1b1−⋯−andnbn)a1a2⋯an
分块行列式:可用范德蒙行列式或拉普拉斯定理推导。
∣∣∣∣∣AC0B∣∣∣∣∣=∣A∣∣B∣
解:
取第 1 行和第 2n 行,只有一个非零子式:
M=∣∣∣∣∣ancnbndn∣∣∣∣∣
M 的余子式:M′=D2(n−1)
M 的代数余子式:A=(−1)(1+2n)+(1+2n)M′=(−1)(1+2n)+(1+2n)D2(n−1)=D2(n−1)
根据【定理】拉普拉斯定理
D2n=MA=∣∣∣∣∣ancnbndn∣∣∣∣∣D2(n−1)
递归公式:
D2n=∣∣∣∣∣ancnbndn∣∣∣∣∣D2(n−1)=∣∣∣∣∣ancnbndn∣∣∣∣∣⋅∣∣∣∣∣an−1cn−1bn−1dn−1∣∣∣∣∣D2(n−2)=∣∣∣∣∣ancnbndn∣∣∣∣∣⋅∣∣∣∣∣an−1cn−1bn−1dn−1∣∣∣∣∣…∣∣∣∣∣a2c2b2d2∣∣∣∣∣D2=∣∣∣∣∣ancnbndn∣∣∣∣∣⋅∣∣∣∣∣an−1cn−1bn−1dn−1∣∣∣∣∣…∣∣∣∣∣a2c2b2d2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1c1b1d1∣∣∣∣∣
故
D2n=(an−1dn−1−bn−1cn−1)⋯(a1d1−b1c1)=i=1∏n(aidi−bici)
下三角行列式:斜边为主对角线,上角均为 0。
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a22⋮an2⋱⋯0ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=a11a22⋯ann
左右翻转,得到斜边为次对角线,上角均为 0 的次下三角行列式。
D′=(−1)2n(n−1)D
克拉默法则
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+…+annxn=bn
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21…an1a12a22…an2…………a1na2n…ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=0
如果线性方程组的系统行列式不等于 0,则线性方程组有唯一解。
x1=DD1,x2=DD2,⋯,xn=DDn
其中 Dj,j=1,⋯,n
Dj=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋯an1⋯⋯⋯⋯a1,j−1a2,j−1⋯an,j−1b1b2⋯bna1,j+1a2,j+1⋯an,j+1⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣
证明:
- 先证 x1=DD1,x2=DD2,⋯,xn=DDn 是方程组的解。
只需验证满足第 i 个方程,即
ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi
也即
ai1DD1+ai2DD2+…+ainDDn=bi
设 Aij,i=1,⋯,n 是 Dj 的关于第 j 列的代数余子式
Dj=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj,j=1,⋯,n
上式左端
左端 ===D1(ai1D1+ai2D2+⋯+ainDn)D1[ai1(b1A11+b2A21+⋯+bnAn1)+ai2(b1A12+b2A22+⋯+bnAn2)+⋯+ain(b2A1n+b2A2n+⋯+bnAnn)]D1[b1(ai1A11+ai2A12+⋯+ainA1n)+b2(ai1A21+ai2A22+⋯+ainA2n)+⋯+bi(ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin)+⋯+bn(ai1An1+ai2An2+⋯+ainAnn)
又(考虑第 D 的 第 i 行)
ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn={D,j=i0,j=i
左端 =D1[0+0+⋅+D+⋯+0]=D1biD=bi= 右端
所以 xj(j=1,2,⋯,n)验证满足第 i 个方程(i=1,2,⋯,n)。
- 再来证明解的唯一性
设 xj=cj(j=1,2,⋯,n)满足
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11c1+a12c2+⋯+a1ncn=b1a21c1+a22c2+⋯+a2ncn=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1c1+an2c2+⋯+anncn=bn
只需证明:c1=DD1,c2=DD2,⋯,cn=DDn
用 D 的第 j 列元素的代数余子式 Aij,i=1,⋯,n 分别乘以以上等式两端,得
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧(a11c1+a12c2+⋯+a1ncn)A1j=b1A1j(a21c1+a22c2+⋯+a2ncn)A2j=b2A2j⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(an1c1+an2c2+⋯+anncn)Anj=bnAnj
所以方程两端相加
(a11A1j+a21A2j+…+an1Anj)c1+⋯+(a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj)cj+⋯+(a1nA1j+a2nA2j+…+annAnj)cn=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj
又(考虑第 D 的 第 i 列)
a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj={D,j=i0,j=i
0⋅c1+⋯+D⋅cj+⋯+0⋅cn=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj
Dcj=Dj
cj=DDj(j=1,2,…,n)
得证!
克拉默法则的应用及线性方程组解的讨论
微积分
在由方程组所确定的隐函数的微分运算中,常常用克拉默法则,来求隐函数的导数和偏导数。
设方程组 {x=eu+usinvy=eu−ucosv 确定了两个二元函数 {u=u(x,y)v=v(x,y),求偏导数 ∂x∂u,∂y∂u。
解:
方程组两边对 x 求偏导
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧1=eu∂x∂u+∂x∂usinv+ucosv∂x∂v0=eu∂x∂u−∂x∂ucosv+usinv∂x∂v
{(eu+sinv)∂x∂u+ucosv∂x∂v=1(eu−cosv)∂x∂u+usinv∂x∂v=0
- ∂x∂u=∣∣∣∣eu+sinveu−cosvucosvusinv∣∣∣∣∣∣∣∣10ucosvusinv∣∣∣∣=1+eu(sinv−cosv)sinv
- ∂x∂v=∣∣∣∣eu+sinveu−cosvucosvusinv∣∣∣∣∣∣∣∣eu+sinveu−cosv10∣∣∣∣=u[1+eu(sinv−cosv)]cosv−eu
多项式插值与插值曲线
插值多项式:设 (xi,yi),(i=1,⋯,n+1)是 n+1 个横坐标不同的点,则有唯一的次数不超过 n 次的多项式:
p(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
满足 p(xi)=yi,(i=1,⋯,n+1)
插值曲线:有唯一次数不超过 n 次的曲线 y=a0+a1x+a2x2+…+anxn 经过上述给定的 n+1 个点。
证明:
把 n+1 个点带入方程,得到以 a0,a1,⋯,an 为未知数的线性方程组:
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a0+a1x1+…+anx1n=y1a0+a1x2+…+anx2n=y2………………a0+a1xn+1+…+anxn+1n=yn+1
系数行列式 D:
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣11⋯1x1x2⋯xn+1⋯⋯⋯⋯x1nx2n⋯xn+1n∣∣∣∣∣∣∣∣∣=j<i∏(xi−xj)=0
方程组有唯一的解:ai=DDi(j=0,1,…,n+1)
p(x)=D1(D1+D2x+D3x2+…+Dn+1xn)